5 Kostnader ved barn og ekvivalensskalaer basert på Engels metode og forbruksundersøkelsen 1989-91

Erling Røed Larsen, Statistisk sentralbyrå og Jørgen Aasness, Statistisk sentralbyrå 1

Levekostnaden for et barn øker kraftig med barnets alder, hvis en ser bort fra utgifter til barnehage, dagmamma og foreldrenes tidsbruk på omsorg for barna. Hvis en tar hensyn til utgifter til barnetilsyn blir levekostnadene mindre avhengig av barnets alder. Levekostnaden for et barn synes å nå en topp i midten eller slutten av tenårene, og er da lik levekostnaden for en ekstra voksen, som igjen er ca 70% av levekostnaden til en enslig voksen. Disse resultatene følger ved bruk av en spesiell metode og en restriktiv modell på data over forbrukutgifter for ca 3600 norske husholdninger. Forbruksutgiftene deles i to hovedgrupper: nødvendighetsgruppen (mat, klær, lys og brensel, etc) og luksusgruppen (resten av forbruket). Husholdningenes budsjettandel til nødvendighetsgruppen synker med økende total forbruksutgift og stiger med antall personer i ulike aldersgrupper. For luksusgruppen er det omvendt. Levestandarden identifiseres ved hjelp av budsjettandelene til de to hovedgruppene. Metoden gis en teoretisk begrunnelse, og valg av godegruppering drøftes innen rammen av denne teorien. Det gjenstår imidlertid å løse en rekke teoretiske og empiriske forskningsoppgaver for å undersøke robustheten av resultatene overfor ulike forutsetninger.

5.1 Innledning

En ekvivalensskala er en funksjon for beregning av antall forbruksenheter for ulike husholdninger. Total forbruksutgift per forbruksenhet, eller inntekt per forbruksenhet, er en indikator for husholdningsmedlemmenes levestandard, som er ment å være sammenlignbar mellom husholdninger av ulik størrelse og sammensetning. En ekvivalensskala kan ta hensyn til at det er stordriftsfordeler i husholdningsproduksjonen, f.eks. ved bruk av bolig og bil, og at ulike personer har ulike behov, f.eks. at en to-åring har mindre behov for kalorier enn en 16-åring.

Slike ekvivalensskalaer, og tilhørende mål på levestandard, er nyttige redskaper for en rekke forskjellige formål. Spesielt kan en benytte disse i forbindelse med (i) sammenligning av levestandard mellom ulike befolkningsgrupper (etter forskjellige inndelinger som husholdningstype, sosioøkonomisk gruppering, yrke, region, land etc); (ii) måling av utviklingen i gjennomsnittlig levestandard for ulike befolkningsgrupper og for befolkningen som helhet; (iii) måling av utvikling av ulikheten av levestandard og inntekt i en befolkning(sgruppe); (iv) virkning på gjennomsnittlig levestandard, ulikhet og velferd av skattepolitikk og andre politiske tiltak; (v) beregning av nødvendig forbruk for enkelthusholdninger i forbindelse med sosiale støtteordninger som sosialhjelp, gjeldsordningslov o.l .

Engels lov sier at budsjettandelen for mat (utgiftene til mat som andel av total forbruksutgift) synker med husholdningens totale forbruksutgift (eller inntekt). Dette er en empirisk lovmessighet som første gang ble presentert av den tyske statistikeren Ernst Engel i 1857, og som siden er blitt bekreftet av svært mange empiriske undersøkelser basert på ulike metoder og data, se f.eks. Houthakker (1957) og Aasness (1990). Bemerk at Engels lov ikke nødvendigvis gjelder for hvert enkelt individ eller husholdning, men erfaring viser at den gjelder som gjennomsnittsrelasjon i en befolkningsgruppe av en viss størrelse (jfr drøftingen av den vitenskapelige status av Engels lov i Aasness (1989, s169-171)).

Engel (1895) bekreftet sin tidligere oppdagelse av at budsjettandelen til matvarer synker med levestandarden, og utnyttet denne empiriske sammenhengen som et grunnlag for beregning av ekvivalensskalaer. To (grupper av) husholdninger med ulik størrelse og sammensetning ble antatt å ha lik levestandard hvis de hadde lik budsjettandel til matvarer. Metoden illustreres i figur 1, hvor vi i stedet for matvarer bruker en nødvendighetsgruppe som inkluderer matvarer, men også en rekke andre goder (jfr fotnoten til tabell 1). Hvis vi tar utgangspunkt i en enslig med kr 100 000 i total forbruksutgift, kan vi avlese fra figuren at gjennomsnittlig budsjettandel for nødvendighetsgruppen er 0,3 (eller mer nøyaktig 0,297). La oss nå følge den horisontale linjen for en budsjettandel på 0,3 til den skjærer budsjettandelsfunksjonen til et par uten barn (med gjennomsnittlige preferanser for nødvendighetsgruppen). Vi ser at et par uten barn må ha en total forbruksutgift på kr 169 000 for å ha samme budsjettandel som den enslige. Altså er antall forbruksenheter for et par uten barn 1,69 i forhold til en enslig i dette tilfellet. Tilsvarende må et par med tre barn (med gjennomsnittlige preferanser for nødvendighetsgruppen) ha en total forbruksutgift på kr 293 000 for å ha samme budsjettandel. Antall forbruksenheter for par med 3 barn er altså 2,93 i dette tilfellet. Gitt den økonometriske modellen som ligger bak budsjettandelsfunksjonene i figur 1, viser det seg at vi får nøyaktig samme ekvivalensskala uansett hvilken verdi på total forbruksutgift for enslige vi tar utgangspunkt i. (Den geometriske illustrasjonen i figur 1 er basert på den samme økonometriske modellen som presentert i tabellene 1-3 nedenfor, i alternativet der utgifter til barnehage og dagmamma er holdt utenfor beregningene.)

Herværende artikkel gir følgende bidrag til litteraturen om ekvivalensskalaer: (i) en empirisk analyse basert på forbruksundersøkelsen 1989-91 (se Statistisk sentralbyrå (1993) for en beskrivelse av denne utvalgsundersøkelsen); (ii) en teoretisk begrunnelse for Engels metode som bl.a. gir et grunnlag for drøfting av alternativer til valg av matvarer som nødvendighetsgruppe; (iii) valg av en ny nødvendighetsgruppe som inkluderer en rekke andre goder i tillegg til matvarer og begrunnelse for valget; (iv) en ny angrepsmåte for å modellere husholdningens størrelse og sammensetning i Engelfunksjoner, der alderen på hvert husholdningsmedlem inngår som en kontinuerlig variabel, og en konkret spesifikasjon av denne angrepsmåten; (v) bruk av en økonometrisk modell med latent total forbruksutgift som tar hensyn til målefeil i registrert total forbruksutgift og registrerte inntektsvariable; (vi) en empirisk case study som kan gi grunnlag for en rekke videreføringer.

Vi kan tenke oss at husholdningene tar sine beslutninger om forbruk og arbeid i to trinn. I trinn 1 besluttes (i) hvor mye husholdningsmedlemmene skal arbeide og dermed arbeidsinntekten; (ii) hva slags tilsyn (eventuelle) barn i husholdningen skal ha, og herunder utgifter til barnehage og dagmamma, samt de voksnes tidsbruk på omsorg for barna; (iii) total forbruksutgift (til alle forbruksgoder eksklusiv barnehage og dagmamma) og dermed husholdningens sparing. I trinn 2 besluttes hvordan husholdningens totale forbruksutgift skal brukes på ulike forbruksgoder og fordeles til husholdningsmedlemmene. I vårt hovedalternativ beregner vi en ekvivalensskala for trinn 2, dvs vi har ekskludert utgift til barnehage og dagmamma fra denne (nedre del av) konsummodellen. Hvis en ønsker en ekvivalensskala relevant for begge beslutningstrinn, og tilhørende kostnader ved barn, må en altså gjøre et regnestykke i tillegg. Det er flere fordeler ved en slik todelt beregning av ekvivalensskalaer og barnekostnader: (a) det er flere momenter som taler for at vår metode er mest velegnet for å estimere ekvivalensskalaen på trinn II, og at ekvivalensskalaen her vil være mer stabil over tid og mer uavhengig av aktuelle økonomisk-politiske tiltak; (b) prisene på barnehage og dagmamma har endret seg sterkt over tiden, og varierer mye mellom ulike husholdninger og dette vil påvirke barnekostnader og ekvivalensskalaer for trinn I, men ikke for trinn II; (c) ulike typer subsidieordninger for barnehagetjenester er stadig et aktuelt politisk økonomisk virkemiddel, noe som påvirker kostnader ved barn og ekvivalensskalaer, og det er inkonsistent å benytte en ekvivalenskala som forutsetter en bestemt pris eller subsidiestruktur når en skal analysere virkninger av endringer i denne strukturen. For å poengtere at utgifter til barnehage og dagmamma kan være av stor betydning for fullstendige ekvivalensskalaer og kostnader ved barn, har vi imidlertid også beregnet en ekvivalenskala der disse utgiftene er inkludert (både i total forbruksutgift og i nødvendighetsgruppe), basert på nøyaktig samme type modell og metode som vi benyttet for ekvivalensskalaen for trinn II.

Merk at vi i denne artikkelen med begrepet levestandard mener en form for materiell levestandard for de ulike personene i husholdningen. Vi inkluderer ikke for eksempel foreldrenes lykke ved å ha barn i vårt levestandardbegrep. Husholdningens størrelse og alderssammensetning antas å være gitt når husholdningen tar sine konsumbeslutninger. Pollak og Wales (1979) analyserer ekvivalensskalaer når en bruker et utvidet velferdsbegrep, som for eksempel kan inkludere foreldrenes lykke ved å ha barn, og der beslutninger om antall barn tas simultant med konsumbeslutninger ellers, jfr også drøftingen i Bojer (1995). I vår artikkel behandles barn symmetrisk med voksne, men vi tar hensyn til at barn og voksne kan ha ulike materielle behov.

Artikkelen er disponert på følgende måte. Seksjon 2 gir en framstilling av hovedresultatene i form av estimerte ekvivalensskalaer. Denne seksjonen er ment å være lettlest, og det brukes ikke formler i teksten. Et alternativ er å avslutte lesingen av artikkelen etter denne seksjonen. Resten av artikkelen er mer krevende mht sosialøkonomisk fagterminologi og bruk av matematikk. Seksjon 3 gir en framstilling av det teoretiske grunnlaget, hvor vi starter i (sub)seksjon 3.1 med å gi en kort skisse og drøfting av standard økonomisk teori for konsumentenes atferd og levestandard. I seksjon 3.2 bygger vi videre på dette utgangspunktet, og gir en teoretisk begrunnelse for Engels modell og metode. Herunder begrunner vi vårt valg av nødvendighetsgruppe (jfr (9) og nedenfor). I seksjon 3.3 gir vi så en spesifikasjon av funksjonsformene vi har benyttet, og med fokus på vår nye angrepsmåte for innføring av aldersvariable. Seksjon 4 gir mer informasjon om den empiriske analysen, med estimater av parametrene i modellen og noen testresultater.

5.2 Hovedresultater

Vår modell forutsetter at antall forbruksenheter i en husholdning er en lineær funksjon av antall personer i ulike aldersgrupper, delt inn i ett-årsintervaller (jfr fotnoten til tabell 1, eller formel (10) i seksjon 3). Den marginale forbruksenheten for aldersgruppe i er virkningen på antall forbruksenheter i en husholdning ved at husholdningen får et nytt medlem som tilhører aldersgruppe i. Våre estimater av marginale forbruksenheter er presentert i tabell 1.

Vi forsøkte først å estimere de marginale forbruksenhetene fritt for hvert årskull, men standardavvikene ble da meget store. Det betyr at vårt datamateriale er for lite til å få sikre anslag på så mange uavhengige parametre. Deretter forutsatte vi at de marginale forbruksenhetene er en kontinuerlig funksjon av alderen til husholdningsmedlemmene, i form av en såkalt lineær spline med femårsintervaller, med ialt 18 ukjente parametre å estimere. Dette innebærer at innen et femårsintervall kan den marginale forbruksenheten enten være konstant eller stige eller synke med alderen, men selve endringen fra ett år til neste er konstant, og estimeres fra data. Ved neste femårsintervall kan endringskoeffisienten være en annen. Ved estimering med alle 18 parametre fri hadde flere av parametrene store standardavvik, og den estimerte funksjonen så tilfeldig og lite troverdig ut. Dette tolker vi igjen som at vårt datamateriale er for lite til å få sikre anslag på så mange uavhengige parametre. Vi innførte så restriksjoner i form av å sette endringskoeffisientene lik null eller lik hverandre. Etter noen eksperimenter endte vi opp med en modell med fire ukjente parametre som vår foretrukne modell, og som ligger bak resultatene i tabell 1. Se seksjon 4 for nærmere omtale av modellen med estimater av parametrene og tester av restriksjonene.

I utgangspunktet valgte vi en enslig 40-åring som referansehusholdning, dvs for en enslig voksen 40-åring er antall forbruksenheter per definisjon lik 1. I modellen presentert i tabell 1 er imidlertid den marginale forbruksenheten lik for alle voksne i aldersgruppen 16-75 år, slik at enhver voksen i denne aldersgruppen som bor alene, har forbruksenhet lik 1, og kan brukes som referansehusholdning.

Vi kommenterer først de empiriske resultatene for alternativet der utgifter til barnehage og dagmamma er ekskludert fra konsumssystemet (dvs vi begrenser oss til beslutningstrinn II som poengtert i nest siste avsnitt i Innledningen). Vi ser at den marginale forbruksenheten er estimert til 0,22 for barn i aldersgruppen 0 til 5 år. Det innebærer at levekostnadene for et ekstra barn i denne aldersgruppen er kr 22 000, hvis en tar utgangspunkt i den materielle levestandarden en enslig voksen oppnår med med kr 100 000 i total forbruksutgift (når vi måler utgiftene i 1991 priser). Hvis vi i stedet krever en materiell standard svarende til kr 200 000 i total forbruksutgift for en enslig voksen, koster et ekstra barn i denne aldersgruppen kr 44 000. I tillegg kommer kostnadene til barnetilsyn.

Modellen bak tabell 1 forutsetter altså at den marginale forbruksenheten er den samme for alle barn i aldersgruppen 0-5. Denne hypotesen er testet og ble ikke forkastet (jfr linje 4 i tabell 3). Dette kan enten skyldes at hypotesen er tilnærmet riktig eller at datamaterialet vårt ikke er stort nok til å gi sikre anslag på endringen i marginal forbruksenhet i dette aldersintervallet. I sistnevnte tilfelle kan vi tolke 0,22 som et estimat av gjennomsnittlig marginal forbruksenhet i denne aldersgruppen.

For aldersintervallet 6 til 10 år ser vi at den marginale forbruksenheten øker jevnt og sterkt fra 0,28 hos en 6-åring til 0,55 hos en 10-åring. Denne økningen i marginal forbruksenhet er klart statistisk signifikant (jfr linje 5 i tabell 3).

For aldersintervallet 11 til 15 år øker også den marginale forbruksenheten med alder, men ikke så sterkt som i aldersintervallet 6 -10 år. Økningen er også her klart statistisk signifikant (jfr linje 6 i tabell 3). For aldersintervallet 16 til 20 år forutsetter modellen at marginal forbruksenhet er konstant. Denne hypotesen er testet og ikke forkastet. Testresultatet antyder at det kan tenkes å være en liten nedgang i marginal forbruksenhet her (jfr linje 7 i tabell 3). Vår empiriske analyse tyder altså på at den marginale forbruksenheten, og kostnadene ved barn eksklusive barnetilsyn, øker med alder i aldersintervallet 6-15 år, og at den når en topp i midten eller slutten av tenårene. (I vår modell når den toppen i overgangen mellom 15 og 16 år, men vår empiriske analyse gir ikke grunnlag for å si nøyaktig når toppen kommer.) En viktig faktor bak at levekostnadene øker med alder, kan være klesforbruket i denne vokseperioden.

I følge modellen er den marginale forbruksenheten (og levekostnaden) konstant for personer i aldersintervallet 16 til 75 år, for deretter å synke med alder. Fra og med 85 års alderen er den marginale forbruksenheten (levekostnaden) igjen forutsatt konstant fordi vi har svært få observasjoner i denne enden av aldersfordelingen, og vi kan dermed ikke regne med å få estimert statistisk signifikante endringer her. Vi ser at standardavvikene for de marginale forbruksenhetene øker klart med alder fra og med 77-årsalderen.

Modellen bak estimatene i tabell 1 forutsetter at den marginale forbruksenheten er konstant i hele aldersintervallet 16 til 75 år. Denne hypotesen kan deles inn i 12 subhypoteser, nemlig at den er konstant innen hvert femårsintervall i dette hovedintervallet. Disse 12 subhypotesene er testet separat (se linje 7-18 i tabell 3). Vi får ikke forkastet hypotesene fram til år 30, men derimot antyder testresultatene at levekostnadene igjen øker med alderen fram til begynnelsen på 70 årene. Dette virker for oss kontraintuitivt. En nærmere empirisk analyse må til for å kunne trekke substansielle konklusjoner på dette området. Siden oppdragsgiver for dette prosjektet først og fremst ønsket informasjon om hvordan ekvivalensskalaen, og tilhørende levekostnader, avhenger av barnas alder, har vi overlatt til framtidig forskning å undersøke nærmere hvordan ekvivalensskalaen avhenger av de voksnes alder. Den marginale forbruksenheten for voksne i alderen 16-75 år bør derfor tolkes som en gjennomsnittsverdi for personer i denne aldersgruppen.

Hvis vi inkluderer utgift til barnehage og dagmamma (i total forbruksutgift og i nødvendighetsgruppen) ser vi at de marginale forbruksenhetene for barn i alderen 0 til 8 år blir mye større. Dette er helt naturlig. Utgift til barnehage og dagmamma er en stor utgifts­post for mange barnefamilier, og intuitivt er ekvivalensskalaen for trinn I, eller for trinn I og II samlet (jfr nest siste avsnitt i Innledningen), større enn for trinn II. Imidlertid er det grunn til å tro at avstanden mellom de to ekvivalensskalaene er noe overdrevet på grunn av metoden vi benytter, jfr drøftingen i seksjon 3. På den annen side bør det bemerkes at vi helt har sett bort fra de voksnes tidskostnader ved pass av barn, og dermed tapte muligheter for arbeidsinntekt, som trekker i retning av større marginale forbruksenheter fra trinn I.

I modellen der utgifter til barnehage og dagmamma er inkludert, ser vi at den marginale forbruksenheten er tilnærmet konstant fram til 11-årsalderen, for deretter å stige noe fram til og med 15 år. (De estimerte forbruksenhetene går litt ned fra 6 til 10 år, men denne nedgangen er ikke statistisk signifikant.)

Vi vurderer det slik at vår metode gir et bedre grunnlag for beregning av ekvivalensskala for trinn II, eksklusive utgifter til barnehage og dagmamma, men vi synes at resultatene for begge skalaer i hovedsak virker rimelige. Vår modell og metode bygger imidlertid på en rekke forutsetninger som vi ikke har testet i denne analysen, men som kan undersøkes ved mer detaljert teoretisk og empirisk analyse, slik som antydet flere steder i teksten.

I tabell 2 sammenlignes resultater fra våre to skalaer med OECD-skalaen for fem husholdningstyper. Ved beregning fra vår skala har vi tolket barn som et gjennomsnittsbarn, jfr siste linje i tabell 1. Vi ser at OECD-skalaen ligger omtrent midt imellom våre to estimerte skalaer. Vår empiriske analyse støtter altså opp om hypotesen om at OECD-skalaen er en enkel, men relevant approksimasjon.

Tabell 2 gir også tilsvarende relative tall for gjennomsnittlige verdier av faktiske totale utgifter (fra forbruksundersøkelsen 1989-91). Ved å sammenligne disse faktiske utgiftene med ekvivalensskalaene, får vi et mål på hvilke husholdningsgrupper som har størst levestandard i gjennomsnitt. Vi ser at gjennomsnittlig levestandard er størst for par uten barn og for par med ett barn, og minst for par med tre barn.

5.3 Teori og metode

5.3.1 Økonomisk teori for konsumentenes atferd og levestandard

Vi vil starte med kort å skissere en versjon av standard statisk økonomisk teori for konsumentenes atferd og levestandard, se f.eks. Rødseth (1992) og Deaton og Muellbauer (1980) for grundige framstillinger av den generelle teorien. Presentasjonen av teorien nedenfor vil bli knyttet til vår empiriske analyse.

Vi betrakter husholdningen som en konsument med nyttefunksjon

(1) u = U(q₁ ,.....,q_n ; z),

der q_i er konsumert kvantum av vare i, z er en vektor av utvalgte observerbare karakteristika ved husholdningen og u er husholdningens nytte.

I vår analyse vil vi tolke z-vektoren som antall personer i ulike aldersgrupper i husholdningen. I forbruksundersøkelsene har vi registrert fødselsåret for hver person. I utgangspunktet velger vi en så detaljert aldersgruppering som dataene tillater, dvs vi lar z-vektoren bestå av antall personer i husholdningen i følgende aldersgruppering: 0 år, 1 år, 2 år, ..., 98 år, 99 år og eldre.

Med utgangspunkt i formålet med analysen og empiriske resultater for detaljerte modeller har vi deretter aggregert aldersgruppene, som det framgår av seksjon 2 og 4.

En rekke empiriske studier fra ulike land og ulike datasett viser at det finnes systematiske sammenhenger mellom husholdningenes etterspørsel etter ulike varer og antall personer i ulike aldersgrupper i husholdningen, og følgelig at z bør være med i de underliggende nyttefunksjoner. Smak og behag, og dermed preferanser og nyttefunksjoner, varierer imidlertid mellom personer og husholdninger også når vi har betinget med hensyn på antall personer i ulike aldersgrupper. Det har vel alle erfart ut ifra personlige observasjoner av atferden til sine medmennesker, og det støttes opp av vitenskapelige undersøkelser slik som f.eks. Aasness, Biørn og Skjerpen (1993, 1995). I denne analysen vil vi ikke eksplisitt modellere denne preferansevariasjonen, men tolke (1) som en form for gjennomsnittlige preferanser for husholdninger i Norge (gitt z), hvor typen av gjennomsnitt blir implisitt definert gjennom vårt valg av økonometrisk modell og estimeringsmetode (se nedenfor).

Husholdningen antas å stå overfor en lineær budsjettbetingelse:

(2) p₁ q₁ +... + p_n q_n = y,

der p_i er prisen på gode i, i=1,...,n; og y er husholdningens totale forbruksutgift.

Vi antar videre at husholdningen maksimerer nytten (1) gitt budsjettbetingelsen (2), og at det eksisterer et entydig maksimum for de aktuelle verdier av priser og total forbruksutgift. Dette innebærer at det eksisterer etterpørselsfunksjoner:

(3) q_i = f_i (p₁ ,...,p_n ,y; z), i =1,...n,

dvs at etterpørselen etter hvert gode avhenger av prisene på samtlige goder, total forbrukutgift og husholdningens demografiske karakteristika.

Denne teorien kan brukes for en rekke formål, spesielt kan den brukes som en ramme for empirisk analyse. De estimerte etterspørselsfunksjonene varierer over tid og rom, men flere egenskaper synes å være robuste. Engels lov er et eksempel på et empirisk resultat som en har funnet i svært mange ulike undersøkelser, og som synes å ha karakter av en almengyldig lovmessighet. Den sier at jo rikere konsumenten er, desto mindre er budsjettandelen for mat. For gitte priser (p) og antall personer av ulike typer (z) sier vi at husholdningen er rikere jo større total forbruksutgift (y) er. Videre kan vi si at for gitte priser (p) og total forbruksutgift (y), så er husholdningen rikere jo færre medlemmer den har i en bestemt aldersgruppe (gitt antall medlemmer i andre aldersgrupper).

Innen rammen av teorien over kan vi stille følgende spørsmål: hva er den minste totale forbruksutgift husholdningen trenger for å kunne komme på nyttenivå (u), gitt priser (p) og antall personer av ulike typer (z) ? Dette betyr å minimere y, gitt ved (2), med (1) som bibetingelse, der u betraktes som gitt. Fra dette minimeringsproblemet kan vi utlede levekostnadsfunksjonen:

(4) y = c(p₁ ,...,p_n ,u; z).

Denne funksjonen kan brukes til å definere prisindekser og mål på levestandard (money metric utility), jfr Rødseth (1992) og Deaton og Muellbauer (1980). Videre kan den brukes som utgangspunkt for å definere antall forbruksenheter i husholdningen:

(5) e = c(p₁ ,...,p_n ,u; z₀ ,z₁ ,...,z₃₉ ,z₄₀ ,z₄₁ ,...,z₉₉ )/ c(p₁ ,...,p_n ,u; 0,0,...,0,1,0,...,0),

der vi i telleren har levekostnadsfunksjonen til en husholdning med vilkårlig størrelse og sammensetning, og i nevneren har levekostnadsfunksjonen til referansehusholdningen som vi i vår analyse velger som en enslig 40-åring. Antall forbruksenheter (e) i husholdningen er altså definert som forholdet mellom nødvendig total forbruksutgift i den aktuelle husholdningen og referansehusholdningen, gitt at begge husholdningene skal kunne ha samme nyttenivå (u). Merk at dette forholdstallet generelt vil kunne variere med priser og nyttenivå. Definisjonen (5) er mye brukt i litteraturen, og synes å være bredt akseptert som et nyttig formelt utgangspunkt for definisjon av forbruksenheter. Imidlertid dukker det opp en rekke problemer når en skal konkretisere denne definisjonen. En rekke alternative angrepsmåter for konkretisering finnes, og en har ulike faglige kontroverser i denne sammenheng, jfr f.eks. Deaton og Muellbauer (1980, 1986), Blundell and Lewbel (1991), Browning (1992) og Nelson (1993). Et fundamentalt problem er at selve nyttebegrepet (u) kan tolkes på mange måter, og ikke alle tolkinger gjør det meningsfylt å sammenligne nytte over ulike husholdningstyper, noe definisjonen over implisitt forutsetter.

Definisjonen (5) er analog til en allment akseptert definisjon av prisindekser, jfr Deaton og Muellbauer (1980, ch 7 og 8). Den analoge definisjonen av prisindekser gir imidlertid opphav til langt færre faglige kontroverser fordi en der benytter nyttefunksjonen til den samme husholdningen både i teller og nevner. Dette gjør at en kan tolke nyttefunksjonen som en såkalt ordinalistisk preferanseindikator, og unnslippe krav til sammenlignbarhet av nyttenivået mellom ulike konsumenter. En kan således ved den analoge definisjonen av prisindekser holde seg til den mest gjennomanalyserte og minst kontroversielle del av konsumentteorien. Ved definisjon av forbruksenheter tvinges en over i et område av teorien som er langt mindre tilfredstillende utviklet og analysert, og hvor det til stadighet gjøres nye forskningsframstøt.

Problemet med at nyttenivået (u) kan tolkes på ulike måter, og ikke nødvendigvis slik at definisjonen (5) blir meningsfull, henger sammen med at husholdningens nyttefunksjon (1) i utgangspunktet ikke sier noe eksplisitt om hva som foregår innad i husholdningen mht beslutninger om innkjøp, produksjon og fordeling av godene mellom husholdningsmedlemmene. Hvis vi for eksempel tenker oss at beslutningene tas av et familieråd, vil det til stadighet måtte veie behovet til de ulike husholdningsmedlemmene opp mot hverandre. Dette burde kunne gi et empirisk grunnlag for sammenligning av behov og levestandard mellom personer av ulike aldre, gitt at vi legger husholdningenes egne vurderinger til grunn. I hvilken grad og på hvilken måte vi kan få identifisert husholdningenes avveininger mellom behovene til de ulike medlemmene utifra data fra forbruksundersøkelsene er imidlertid ikke åpenbart, blant annet fordi vi ikke direkte observerer hva den enkelte person forbruker, men i hovedsak bare hva husholdningen kjøper inn samlet.

Denne meget begrensede studien har ikke gitt mulighet til å gå inn i detalj på dette vanskelige området. Vi har funnet det nødvendig å male med bred pensel, og skjære igjennom til et relativt enkelt empirisk implementerbart opplegg, som følger nedenfor.

5.3.2 En begrunnelse for Engels metode

Vi skal som en forenkling anta at alle personer i en husholdning har samme (materielle) levestandard, og vi skal tolke u som et mål på denne levestandarden. Antall forbruksenheter i (5) viser dermed hvor mange ganger større total forbruksutgift husholdningen må ha for at alle dens medlemmer skal ha samme materielle levestandard som en enslig 40-åring – gitt et sett priser (p) og et nivå på levestandarden (u).

La oss nå klassifisere godene i to hovedgrupper, N og L. I gruppe N skal vi ta med matvarer og en del andre nødvendighetsgoder, slik at budsjettandelen til denne godegruppen synker når total forbruksutgift stiger. Dette medfører at Engelelastisiteten for N er mindre enn 1. Vi kaller derfor N for nødvendighetsgruppen. L er gruppen av alle andre varer og tjenester som er inkludert i budsjettbetingelsen (2). Det følger herav at budsjettandelen for L stiger med total forbruksutgift, dvs at Engelelastisiteten er større enn 1, og vi kaller L for luksusgruppen. Vi kan som observatører i utgangspunktet fritt inndele godene slik vi vil. Nedenfor skal vi komme tilbake til den spesifikke inndelingen vi har valgt i N og L, og begrunnelsen for valget.

For et gitt sett av priser følger det fra (3) at utgiftene (x_j = Σ_iεj p_i q_i , j=N,L) til de to gruppene kan skrives som følgende Engelfunksjoner:

(6) x_j = g_j (y; z), j = N,L.

Vi skal nå anta at det eksisterer en funksjon e(z) slik at (6) kan representeres ved (7):

(7) x_j /e(z) = h_j (y/e(z)), j = N,L.

Vi tolker dette som at utgiftene per forbruksenhet (e(z)) til de to varegruppene er en funksjon av total forbruksutgift per forbruksenhet. Videre skal vi forutsette at det i denne aggregerte modellen med gitte priser, har god mening å tolke y/e(z) som levestandarden (og et mål på nyttenivået) til hvert medlem i husholdningen. Videre skal vi tolke x_j /e(z), j=N,L, som konsumnivået for vare j for hvert husholdningsmedlem.

Modellen i (7) tolkes altså som en aggregert versjon, og redusert form, av en bakenforliggende modell (1)-(2) som ikke er fullstendig spesifisert. Det kan tenkes mange ulike spesifikasjoner og tolkinger av (1)-(2) som alle gir opphav til (7), og til forskjellige tolkinger av (7). Dette skal vi ikke analysere nærmere i denne artikkelen.

Av (7) følger det at budsjettandelen til vare j (x_j /y) er følgende funksjon av total forbruksutgift per forbruksenhet:

(8) x_j /y = h_j (y/e(z))/(y/e(z)) ≡ w_j (y/e(z)), j = N,L.

Av (8) ser vi at budsjettandelene til de to hovedgruppene N og L kun avhenger av husholdningens levestandard (y/e(z)). Antall personer av ulike typer påvirker budsjettandelene til de to hovedgruppene, men kun via hvordan de påvirker ekvivalensskalaen (e(z)) og derigjennom hvordan de påvirker levestandarden (y/e(z)).

Vi har ovenfor forutsatt at Engelelastisiteten er mindre enn 1 for nødvendighetsgruppen (N) og større enn 1 for luksusgruppen (L) – for alle aktuelle verdier av total forbruksutgift og priser. Dette og (8) gir at budsjettandelene til N og L er monotone funksjoner av levestandarden (y/e(z)). Budsjettandelsfunksjonene er således inverterbare – gitt budsjettandelen (x_j /y) kan vi dermed finne levestandarden (y/e(z)) ved hjelp av den inverse funksjonen til w_j (.).

Ved å spesifisere funksjonsformen på ekvivalensskalaen e(.) og Engelfunksjonen h_j (.), og dermed budsjettandelsfunksjonen w_j (.), kan ekvivalensskalaen identifiseres og estimeres fra tverrsnittsdata i en forbruksundersøkelse, som finnes i nesten hvert land i verden, og med bruk av standard økonometriske metoder. Vi skal nedenfor presentere funksjonsformen som er valgt i vår empiriske analyse, men først skal vi knytte noen flere kommentarer til modellen representert ved (7) og (8).

Modellen i (8) kan betraktes som en rasjonalisering av angrepsmåten til Engel (1895), som brukte budsjettandelen til matvarer som indikator på husholdningens levestandard ved beregning av ekvivalensskalaer, og som siden har vært benyttet i stor utstrekning i anvendte analyser, jfr Deaton og Muellbauer (1980, seksjon 8.1). Engel, og de fleste av hans etterfølgere, brukte altså matvarer som definisjon av nødvendighetsgruppen (N), men vi skal nedenfor drøfte og begrunne en utvidet definisjon av nødvendighetsgruppen.

Merk at ekvivalensskalaen e(z) i (7) er den samme for både nødvendighetsgruppen (N), luksusgruppen (L) og total forbruksutgift (y). Modellen kan generaliseres til å ha en ekvivalensskala for hver godegruppe, og hvor ekvivalensskalaen for total forbruksutgift er en veid sum av de gruppespesifikke ekvivalensskalaene, jfr Deaton og Muellbauer (1980, seksjon 8.2-8.3). De gruppespesifikke ekvivalensskalaene er imidlertid generelt ikke identifiserbare fra tverrsnittsdata, jfr Deaton og Muellbauer (1980, s.202) og referansene nevnt der. Det gjelder i stor grad også for andre økonometriske modeller med ekvivalensskalaer, men de kan være identifiserbare fra andre datatyper, spesielt fra data med flere uavhengige tverrsnitt med prisvariasjon. De økonometriske modellene blir da mer kompliserte og mindre gjennomskubare, og hittil synes ikke resultatene å ha vært særlig overbevisende, jfr f.eks. Deaton og Muellbauer (1980, seksjon 8.3 og 1986) og Nelson (1988, 1993). Det er således ikke noe opplagt bedre alternativ til modellen i (7) og bruken av Engels metode.

Dersom en antar at modellen i (7), med like ekvivalensskalaer for alle goder, gjelder for en vilkårlig detaljert godegruppering, gir modellen helt urimelige prediksjoner. Spesielt predikerer modellen at forholdet mellom barneelastisiteten og voksenelastisiteten er lik for alle goder. (Der barneelastisiteten måler effekten på husholdningens forbruk av å få et barn til, gitt total forbruksutgift, og tilsvarende for enhver aldersgruppe, jfr Aasness (1978) for presise definisjoner.) Dette strider helt imot resultatene i f.eks. Aasness (1977), med 230 forskjellige grupper av mat- og drikkevarer, og Røed Larsen og Aasness (1996), med alt forbruk inndelt i opptil 478 godegrupper. For eksempel er dette forholdstallet langt høyere for kakao og sjokoladepulver enn for kaffe. Barn og voksne har forskjellige preferanser for ulike goder, og det er forskjellig grad av stordriftsfordeler for ulike goder. For at modellen (7) skal være realistisk, må derfor de n opprinnelige godene være klassifisert i de to godegruppene N og L på en slik måte at disse to godegruppene blir nøytrale m.h.t. preferanser for ulike aldersgrupper og mht grad av stordriftsfordeler.

Vi har som hovedalternativ valgt N og L slik:

se Røed Larsen og Aasness (1996), eller Statistisk sentralbyrå (1993), for oversikt over alle godegruppene (med kodenummer).

Gruppen K0 Matvarer, som tradisjonelt er brukt som nødvendighetsgruppe ved Engels metode, inkluderer ikke varer kjøpt på kafé og restaurant. Det er en tendens til at enslige i større grad enn barnefamilier foretrekker å spise ute. Hvis vi begrenser oss til å ta med K0 Matvarer i nødvendighetsgruppen kan dette derfor tenkes å undervurdere levekostnadene til enslige kontra barnefamilier – idet forutsetningen om like ekvivalensskalaer for N og L i (7) blir urealistisk. Vi har derfor inkludert gruppen V818 Kafeteria, kafé og konditori for å forsøke å nøytralisere denne skjevheten i gruppen K0 Matvarer. I følge estimatene i Røed Larsen og Aasness (1996) er dette den eneste undergruppen innen gruppe K831 Utgifter på restaurant og kafé som har Engelelastisitet under (men svært nær) 1. Engelelastisiteten til undergruppen V819 Restaurant og bar ble derimot estimert til så høyt som 1,8, og vi fant det derfor ikke fornuftig å ta denne undergruppen med i nødvendighetsgruppen (N).

Vi har også inkludert hele hovedgruppen K2 Klær og skotøy i nødvendighetsgruppen (N). Noe klær er det i hvert fall nødvendig å forbruke for hver person i husholdningen. Dataene gir mulighet til å skille mellom ulike typer klær og sko, med ulik luksusgrad, men vi har tatt med alle varegruppene for å unngå faren for introdusere ulikheter i preferanser mellom ulike husholdningstyper ved et et spesielt utplukk av varer innen klær og sko.

Det kan være endel stordriftsfordeler i husholdningens produksjon av tjenester til sine medlemmer i tilknytning til mat og klær, men intuitivt er disse relativt små i forhold til stordriftsfordelene i tilknytning til bolig. Utgifter til bolig totalt er imidlertid et klart luksusgode (Engelelastisiteten er større enn 1), og passer derfor ikke å plasseres som helhet i nødvendighetsgruppen (N). Vi har derfor valgt ut noen goder i tilknytning til boligen som både har lave Engelelastisiteter (se Røed Larsen og Aasness (1996)) og intuitivt har klare stordriftsfordeler. Godene vi har valgt er: KG32 Lys og brensel, KG43 Komfyrer, kjøleskap og annet elektrisk utstyr, K710 Fjernsynsmottaker og K724 Fjernsynslisens.

Valget over av inndelingen av godene i en nødvendighetsgruppe (N) og luksusgruppe (L) er basert på vårt skjønn og de empiriske holdepunktene vi har i blant annet Røed Larsen og Aasness (1996). Det kunne være interessant å gjennomføre sensitivitetsanalyser på effekten av estimerte ekvivalensskalaer for valg av alternative godeinndelinger, men tiden har ikke strukket til for å gjennomføre dette på noen systematisk måte i herværende arbeid. Det kunne videre være interessant å forsøke å estimere modeller med mange goder og ulike ekvivalensskalaer for hvert gode – for deretter å aggregere disse godene i hovedgruppene, N og L, og teste om ekvivalensskalaene her er like. Dette krever mer omfattende økonometriske studier (jfr kommentarene til relasjon (14) nedenfor).

Godegrupperingen i (9) er knyttet til beslutningstrinn II, som påpekt i det tredje siste avsnittet i innledningsseksjonen. Derfor er utgifter til barnehage og dagmamma helt utelatt fra denne konsummodellen. Vi vurderer det slik at vår metode er mest velegnet for å beregne ekvivalensskalaer knyttet til problemstillinger ved dette beslutningstrinn. Siden utgifter til barnehage og dagmamma er en stor utgiftspost for mange barnefamilier, er det imidlertid fristende å benytte samme metode med en godegruppering hvor denne utgiftsposten er en del av nødvendighetsgruppen, og følgelig også er med i total forbruksutgift. Dette har vi da også gjennomført, jfr tabellene 1-3. Dersom vår opprinnelige godegruppering (9) faktisk er nøytral, dvs at (7) er gyldig, kan en argumentere for at den nye godegrupperingen ikke er nøytral, fordi V619 Barnehage og dagmamma jo bare er en kostnad for barnefamiliene. Dette innebærer at med vår reviderte godegrupperingen vil vår metode overdrive kostnadene ved barn. På den annen side er det ved beslutningstrinn I en rekke tidskostnader for foreldrene ved pass av barn, som vi ikke eksplisitt har tatt hensyn til. Alt i alt kan det derfor tenkes at godegrupperingen i (9) medfører en riktig ekvivalensskala for beslutningstrinn II, og den reviderte godegrupperingen gir en riktig ekvivalensskala for beslutningstrinn I og II samlet. Dette blir med herværende modell og metode nokså spekulativt. En må stille opp mer omfattende modeller og analyser for å få solid empirisk informasjon om slike problemer.

Merk at (6)-(8) er basert på en bestemt prisvektor (p₁ ,...,p_n ). Når prisene endres vil generelt alle funksjonene endres, herunder ekvivalensskalaen e(z). På hvilken måte prisene påvirker ekvivalensskalaen avhenger av den underliggende modell representert ved nyttefunksjonen (1). Dersom en nøyer seg med å spesifisere funksjonsformen på den enkle aggregerte modellen (8) kan denne anvendes på en rekke ulike tverrsnitt for å studere hvordan ekvivalensskalaene har endret seg over tid. En grunn til at de har endret seg over tid kan altså være variasjon i relative priser. Tidligere norske analyser på feltet tyder imidlertid på at ekvivalensskalaer er temmelig robuste over tid, se Bojer (1977); Herigstad (1979) og diskusjonen i Aasness (1993,s.88). En relevant pris som i de senere år har endret seg mye, og som kan variere mye for ulike husholdninger på samme tidspunkt, er prisen på barnehage og dagmamma. Dette er en av grunnene til at vi har holdt denne posten utenfor analysen, slik at man ved et ekstra regnestykke eksplisitt kan ta hensyn til kostnader ved barnepass og prisutviklingen for denne.

Observer fra (5) at i den generelle teorien vil antall forbruksenheter i prinsippet avhenge av nivået på levestandarden (u). I vår enkle modell (7) har vi imidlertid forutsatt at ekvivalensskalaen er uavhengig av levestandarden (u=y/e). Dette er en forutsetning vi pådytter den empiriske analysen. I prinsippet er denne forutsetningen testbar, gitt en tilstrekkelig spesifisert konsumentteori, men vi har ikke prøvd oss på noen grundig test fordi det krever mye arbeid. Vi finner det usannsynlig at den sanne ekvivalensskalaen er helt uavhengig av levestandarden, men allikevel kan modellen være en rimelig approksimasjon. En av mange alternative hypoteser er at kostnaden ved barn målt i kroner er uavhengig av total forbruksutgift. Et problem med å teste slike alternative hypoteser er at forbruksundersøkelsen ikke observerer hva de enkelte personene bruker. Imidlertid har vi i de norske forbruksundersøkelsene observasjoner av utgiftene til Klær og sko til barn. I samsvar med sistnevnte hypotese bør Engelelastisiteten for Klær og sko til barn være null, mens en Engelelastisitet for Klær og sko til barn lik Engelelastisiteten for Klær og sko totalt, er mest i samsvar med førstnevnte hypotese. Ifølge Røed Larsen og Aasness (1996) er Engelelastisiteten for Klær og sko totalt estimert til 0,99, mens Engelelastisiteten for Klær og sko til barn er estimert til 0,93. Denne observasjonen støtter opp om hypotesen om at ekvivalensskalaen er approksimativt uavhengig av levestandarden, og forkaster hypotesen om at kostnaden ved barn er uavhengig av total forbruksutgift.

5.3.3 Spesifikasjon av funksjonsform

Vi har valgt lineære funksjonsformer for å få en empirisk analyse som er så enkel og gjennomsiktig som mulig, og for å gi gode muligheter for alternative teoretiske tolkinger av de empiriske resultatene. De lineære funksjonsformene i vår empiriske modell nedenfor, har den fordel at de er konsistente med en rekke ulike spesifikasjoner av den underliggende teorien skissert ovenfor. Spesielt er lineære Engelfunksjoner konsistent med en omfattende klasse av nyttefunksjoner (1) og kostnadsfunksjoner (4), som går under navnet the Gorman-Polar form, jfr Deaton og Muellbauer (1980, s.144-145). Delmengden av denne klassen som er karakterisert ved at en i tillegg krever at den direkte nyttefunksjonen (1) er additiv, er fullstendig beskrevet av Pollak (1971). Et eksempel på en ikke-additiv nyttefunksjon, med et komplisert nyttetre, som impliserer lineære Engelfunksjoner, er konsummodellen beskrevet i Aasness og Holtsmark (1993). De lineære funksjonene gjør det også relativt enkelt å tolke de empiriske relasjonene i lys av ulike teorier for hva som skjer innad i husholdningene, slik som teorien i Barten (1964) og Bojer (1977). Aggregering over goder, som er et sentralt punkt i vår teoretiske ramme presentert over, er også relativt lett å håndtere med lineære funksjoner. Videre blir det langt enklere å benytte økonometriske metoder med latente variable, noe som er vesentlig med våre data, jfr Aasness, Biørn og Skjerpen (1993, 1995).

Antall forbruksenheter antas altså å være en lineær funksjon av antall personer i de ulike aldersgruppene (z_i ) i husholdningen:

(10) e(z) = (1-e₄₀ )+ Σ_i=1,..,99 e_i z_i .

Parameteren e_i er den marginale forbruksenheten knyttet til alder i. Konstantleddet er normalisert til 1 minus den marginale forbruksenheten til en 40-åring (e₄₀ ). Denne normaliseringen er ekvivalent med å definere antall forbruksenheter for en enslig 40-åring til å være lik 1. Vi bruker altså en enslig 40-åring som referansehusholdning. Hvis konstantleddet (1-e₄₀ ) er postivt gir det uttrykk for stordriftsfordeler i husholdningens produksjon av tjenester til sine medlemmer.

Forbruksutgiften per forbruksenhet av godegruppe j antas å være en lineær funksjon av total forbruksutgift per forbruksenhet:

(11) x_j /e(z) = a_j + b_j (y/e(z)), j = N,L.

Ved innsetting av den lineære ekvivalensskalaen (10) i Engelfunksjonene i (11) får vi følgende lineære utgiftsfunksjon:

(12) x_j = a_j* + Σ_i=0,..,99 a_ji z_i + b_j y, j = N,L,

der regresjonsparametrene i (12) er følgende funksjoner av strukturparametrene i (10) og (11):

(13) a_j* = a_j (1-e₄₀ ), a_ji = a_j e_i , j = N,L, i = 0,1,..,99.

Ved å invertere (13) finner vi strukturparametrene som følgende funksjoner av regresjonsparametrene:

(14) a_j = a_j* + a_j40 , e_i = a_ji /a_j , j = N,L, i = 0,1,..,99.

Bemerk at vi finner den samme ekvivalensskalaen (e-ene) om vi tar utgangspunkt i nødvendighetsgruppen (j=N) eller luksusgruppen (j=L). Dette gjelder både i teorien representert ved (14) og i de økonometriske estimatene, og også ved bruk av den geometriske metoden i figur 1. Grunnen til dette kan tilbakeføres til budsjettbetingelsen (2) – utgiftene til nødvendighetsgruppen og luksusgruppen summerer seg til total forbruksutgift og er således ikke uavhengige størrelser. Dette impliserer også at vi ikke kan teste forutsetningen i (7) om at ekvivalensskalaene er like for både lusksusgruppen og nødvendighetsgruppen – hvis vi begrenser oss til Engelfunksjonene i vår aggregerte togodemodell.

Funksjonen i (12) inneholder 100 personderiverte a_ji . Vi innfører en forutsetning om at de personderiverte a_ji varierer med alder i i en kontinuerlig funksjon, a_ji (i), for å få redusert antall frie parametre å estimere. Vi har funnet det hensiktsmessig å benytte en kontinuerlig funksjon av følgende form:

(15) a_ji = a_ji (i) = Σ_r=0,..,R β_jr f_r (i), j = N,L, i = 0,...,99,

hvor f_r (i) er R+1 ulike funksjoner, der parametrene i f_r er fastsatt a priori, og følgelig ikke behøver estimeres. β-ene er imidlertid ukjente parametre som vi estimerer. Ved å velge R < 99 vil vi ha redusert antall frie parametre å estimere. Vi har i vår empiriske analyse valgt å spesifisere a_ji (i) som en stykkevis lineær funksjon, og i tråd med dette valgt f_r (i) som følgende stykkevis lineære funksjon:

(16) f_r (i) = {0 hvis i ≤ i_r-1 , i-i_r-1 hvis i_r-1 < i ≤ i_r , i_r -i_r-1 hvis i > i_r }, r = 0,...,R, i = 0,...,99,

der i_r og i_r-1 er ytterpunkter i et intervall der funksjonen knekker. Funksjonen f_r (i) er altså null for alle aldre mindre enn den nedre grense (i_r-1 ), og stiger med alderen (45 graders linje) i intervallet <i_r-1 ,i_r ], for deretter å være konstant. Ved å kombinere suksessive f_r i en lineær sum som i (15), får vi at den personderiverte a_ji (i) er en stykkevis lineær funksjon med R-1 knekkpunkter. Hvis β_jr er positiv, impliserer det at de personderiverte a_ji stiger med alder i det tilhørende aldersintervallet <i_r-1 ,i_r ], mens negativ β_jr impliserer avtakende personderiverte a_ji , og β_jr = 0 medfører konstante personderiverte i intervallet <i_r-1 ,i_r ].

Vi valgte å dele inn i 5-års intervaller. Dette utgjorde 18 intervaller, i det vi lot det siste aldersintervallet være alle aldre større enn 85 år. Siden vi har svært få observasjoner i denne enden av aldersfordelingen kan vi ikke regne med å få estimert signifikante endringer i marginale forbrukstilbøyeligheter som funksjon av alder i dette aldersintervall. Følgelig antar vi β_j18 =0, og det betyr at vi kan velge å ignorere dette siste aldersintervallet i relasjon (15). Ved å la de personderiverte a_ji (i) være en sammensatt additiv funksjon av 18 funksjoner f₀ ,f₁ ,...,f₁₇ , hvor f₀ (i) = 1, vil vi oppnå å redusere antall frie parametre fra 100 til 18. Vi legger merke til at når vi a priori setter f₀ (i) = 1, innebærer det at β_j0 representerer konstantleddet i personderivertfunksjonen, og således er den personderiverte for 0-åringer. Videre observerer vi at personderivertfunksjonen, som blir en stykkevis lineær funksjon, vil ha 17 knekkpunkter sålenge alle β_jr er ulike 0. Dersom en β_jr estimeres til eller forutsettes å være lik 0, vil dette implisere at de estimerte personderiverte a_ji i intervallet <i_r-1 ,i_r ] er av samme størrelse som den personderiverte a_ji i punktet i_r-1 .

(15) innsatt i (12) gir:

(17) x_j = a_j* + Σ_i=0,..,99 Σ_r=0,..,17 β_jr f_r (i)z_i + b_j y, j=N,L.

Denne kan omskrives til den estimerbare formen:

(18) x_j = a_j* + Σ_r=0,..,17 β_jr Z_r + b_j y, j = N,L,

der Z_r er definert som:

(19) Z_r = Σ_i=0,..,99 f_r (i)z_i , r = 0, ... ,17.

Vi ser at Z_r , r = 0, ... ,17, er transformasjoner av de aldersvariable som ikke gjør bruk av noen nye ukjente. Videre ser vi av (18) at vi nå har redusert de frie parametrene i en regresjonslikning fra 102 i (12) til 20 i (18). Denne reduksjonen har sitt opphav i forutsetningen av at de personderiverte a_ji er en kontinuerlig funksjon av alder i, og at funksjonsformen approksimeres til å være en stykkevis lineær funksjon med 5-års intervaller.

5.4 Empirisk analyse

Vi anvender data fra forbruksundersøkelsen 1989-1991, jfr Statistisk sentralbyrå (1993), med observasjoner av ialt 3656 husholdninger. Vi måler utgiftene i 1991-priser, og regner som om alle husholdningene står overfor de samme prisene.

Anvendelse av relasjon (18) på hver enkelt husholdning h gir

(20) x_jh = a_j* + Σ_r=0,..,17 β_jr Z_rh + b_j y_h +μ_jh , j = N,L,

i det vi antar at forskjellene i preferanser mellom husholdninger med samme aldersvariable (Z_rh ) kan fanges opp i den stokastiske variabelen μ_jh . Den sistnevnte preferansevariablen antas å ha forventning null, gitt (Z_rh ,y_h ), dvs at resten av høyresiden i (18) kan tolkes som en etterspørselsfunksjon for en husholdning med gjennomsnittlige preferanser (jfr diskusjonen om dette i annet avnsnitt etter (1)).

La x_*jh , j=N,L, betegne observerte utgifter for husholdning h til de to varegruppene N og L (som vi har definert i (9)). La videre y_*h = x_*Nh + x_*Lh betegne observert total forbruksutgift. Det er vesentlig å sondre mellom disse observerte variablene fra forbruksundersøkelsene og de korresponderende teoretiske variable i konsumentteorien representert ved (20), jfr f.eks. Aasness, Biørn og Skjerpen (1993, 1995). Ved innsetting av de observerbare variablene i (20) får vi:

(21) x_*jh = a_j* + Σ_r=0,..,17 β_jr Z_rh + b_j y_*h +v_jh , j = N,L,

der restleddet v_jh er lik μ_jh + (x_*jh – x_jh ) – b_j (y_*h – y_h ). Dette restleddet er korrelert med høyresidevariabelen observert total forbruksutgift (y_*h ), og vanlige estimeringsmetoder (MKM) gir skjeve estimatorer. Modellen er heller ikke identifiserbar uten tilleggsinformasjon. Vi får identifisert modellen ved å introdusere relasjoner mellom brutto- og nettoinntekt og latent total forbruksutgift (y_h ), slik som i Aasness, Biørn og Skjerpen (1993, relasjon (6)). Modellen ble estimert ved hjelp av SYSLIN-prosdyren, jfr SAS (1993, ch.17) og fotnoten til tabell 1.

Initialt estimerte vi med 18 frie parametre i den stykkevis lineære funksjonen for de personderiverte a_ji , men flere av parametrene hadde store standardavvik, og den estimerte funksjonen så tilfeldig og lite troverdig ut. Dette tolker vi som at vårt datamateriale er for lite til å få sikre anslag på så mange uavhengige parametre. Derfor valgte vi å pålegge modellen restriksjoner slik at antall frie parametre å estimere ble sterkt redusert. Restriksjonene ble innført i form av at β_jr -ene for r = 1, 4,5, ... , 15 ble satt lik 0 og β_j16 ble satt lik β_j17 , j=N,L. I tabell 3 er angitt estimatene i denne modellen med 5 knekkpunkter, altså 4 frie parametre å estimere.

De viktigste empiriske resultatene er kommentert i seksjon 2. Vi skal her først og fremst kommentere og gi leserveiledning for tabell 3. Tabellen gir resultater for nødvendighetsgruppen i våre to alternativer (eksklusive og inklusive barnehage og dagmamma). Resultater for luksusgruppen kan utledes via budsjettbetingelsen, og estimatene for marginale forbruksenheter i tabell 1 blir nøyaktig de samme om vi tar utgangspunkt i nødvendighetsgruppen eller luksusgruppen. Ut for hver variabel står parameterestimatet eller tilhørende nullrestriksjon.

Vi vil nøye oss med å kommentere alternativet der barnehage og dagmamma er ekskludert. Vi ser at alle parameterestimatene er klart signifikant positive bortsett fra siste parameterestimat som er negativt og har relativt stort standardavvik. Den marginale budsjett­andelen (b_j ) tilknyttet total forbruksutgift (y) er cirka halvparten av budsjettandelen, og Engelelastisiteten for nødvendighetsvaren blir da 0,5. At konstantleddet er positivt impliserer stordriftsfordeler i husholdningsproduksjonen. Parameterestimatet tilknyttet Z₀ innebærer at husholdningen bruker kr 3259 mer på nødvendighetsgruppen hvis den får et nytt husholdningsmedlem på null år, gitt total forbruksutgift. Parameteren tilknyttet Z₁ er a priori satt lik null. Det betyr at de personderiverte (a_ji ) i aldersgruppen 1 til 5 er konstante og lik den personderiverte for nullåringer.

Samtlige nullrestriksjoner er testet separat ved hjelp av en Lagrangeparametertest, jfr Pringle and Raynor (1971) og SAS (1993, p.840). T-verdiene tilknyttet disse testene er gitt i kolonne fire. For restriksjonen β_j1 = 0 er t-verdien 0,62, det vil si at hypotesen ikke kan forkastes, men antyder at β_j1 snarere er positiv enn negativ.

Parameterverdien til Z₂ betyr at den personderiverte for nødvendighetsgruppen øker med kr 1014 per år i alderstrinnet 6 til 10 år. Vi ser at parameterverdiene tilhørende Z₄ – Z₁₅ er a priori satt lik null, det vil si at de personderiverte er konstante i aldersintervallet 16 til 75 år. Endringstallet i den personderiverte for de to neste intervallene er satt like, og denne hypotesen kan ikke forkastes (t-verdi lik 1,56).

Innholdet i tabell 3 er nå forklart, og vi henviser til seksjon 2 for nærmere kommentarer til de empiriske resultatene.